MÉMO - Contrôle statistique de la qualité : loi normale et intervalle de confiance
Quand une machine remplit des pots ou des bacs, le poids varie légèrement d’une unité à l’autre. Si ce poids suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type σ, on calcule la probabilité qu’un produit sorte des tolérances en se ramenant à la loi normale centrée réduite : P(X < a) = Π((a − m) / σ), où Π(t) = P(T ≤ t) se lit dans la table de la loi normale centrée réduite.
Pour vérifier que la machine reste bien réglée, on prélève un échantillon de n produits et l’on encadre la moyenne de la production : x̄ ± t × σ / √n, avec t = 1,96 pour une confiance de 95 % et t = 2,576 pour 99 %. Si la moyenne visée sort de cet intervalle, un déréglage est probable.
Comment mener ces deux calculs et, surtout, comment en interpréter le résultat ?
Réponse rapide
| Notion | Calcul | Ce qu’elle indique |
|---|---|---|
| Variable centrée réduite | T = (X − m) / σ | Ramène toute loi normale à la table unique N(0 ; 1) |
| Fonction Π | Π(t) = P(T ≤ t), lue dans la table de la loi normale centrée réduite (ligne : unité et dixième de t ; colonne : centième) | La probabilité d’être en dessous de t ; exemple : Π(2) = 0,9772 |
| Probabilité sous un seuil | P(X < a) = Π((a − m) / σ) ; si le résultat est négatif, Π(− t) = 1 − Π(t) | La part des produits en dessous d’un poids minimum |
| Moyenne d’un échantillon | x̄ suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type σ / √n | La moyenne varie beaucoup moins que chaque produit pris isolément |
| Intervalle de confiance de la moyenne | x̄ ± t × σ / √n (t = 1,96 à 95 % ; 2,576 à 99 %) | La fourchette dans laquelle se trouve probablement la vraie moyenne de production |
| Décision | La moyenne visée est-elle dans l’intervalle ? | Oui : réglage jugé correct ; non : déréglage probable, à vérifier |
Un exemple chiffré
Une confiturerie remplit des pots dont le poids net suit, quand la machine est bien réglée, une loi normale de moyenne 500 g et d’écart-type 5 g.
Hypothèses : le contrat avec la grande distribution pénalise tout pot de moins de 490 g ; le contrôle porte sur des échantillons de 64 pots.
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Pots de moins de 490 g | P(X < 490) = Π((490 − 500) / 5) = Π(− 2) = 1 − Π(2) = 1 − 0,9772 | 2,28 % |
| Écart-type de la moyenne | 5 / √64 = 5 / 8 | 0,625 g |
| Échantillon observé | Moyenne des 64 pots prélevés | 498,5 g |
| Intervalle à 95 % | 498,5 ± 1,96 × 0,625 = 498,5 ± 1,23 | [497,3 ; 499,7] |
| Intervalle à 99 % | 498,5 ± 2,576 × 0,625 = 498,5 ± 1,61 | [496,9 ; 500,1] |
Environ 2,3 % des pots passent sous 490 g même quand la machine est bien réglée : c’est le coût de la dispersion, qu’on réduit en relevant légèrement la moyenne de remplissage ou en améliorant la précision de la machine. Pour l’échantillon, 500 g est hors de l’intervalle à 95 % mais dans l’intervalle à 99 % : avec un risque d’erreur de 5 %, on conclut à un déréglage ; avec un risque de 1 %, l’écart peut encore être dû au hasard. Le choix du seuil est donc une décision de gestion : plus il est exigeant, moins on arrête la machine à tort, mais plus on laisse passer de vrais déréglages.
Erreurs fréquentes et bonnes pratiques
| Erreur | Conséquence | Bonne pratique |
|---|---|---|
| Lire directement Π(− 2) dans la table | La table ne donne que des valeurs positives : on trouve 97,72 % au lieu de 2,28 %. | Utiliser la symétrie : Π(− t) = 1 − Π(t). |
| Oublier la racine de n dans l’intervalle | Intervalle huit fois trop large pour 64 pots : aucun déréglage n’est jamais détecté. | Diviser l’écart-type par √n pour la moyenne d’un échantillon. |
| Confondre seuil de confiance et risque d’erreur | On prend t = 1,96 alors qu’on vise 99 %. | Confiance 95 % : t = 1,96 ; confiance 99 % : t = 2,576. |
| Conclure avec certitude | « La machine est déréglée » alors qu’il reste un risque d’erreur. | Parler de déréglage probable et préciser le seuil retenu. |
| Contrôler seulement la moyenne | Une dispersion qui augmente passe inaperçue alors que les produits hors tolérance se multiplient. | Suivre aussi l’écart-type ou l’étendue des échantillons. |
| Réduire la qualité au contrôle en fin de chaîne | On trie les défauts au lieu de les éviter. | Compléter par une démarche de prévention : réglages, maintenance, formation, qualité totale. |
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En résumé
| Point clé | Réponse |
|---|---|
| Pourquoi centrer et réduire ? | Pour utiliser une seule table, celle de la loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 1. |
| Pourquoi la moyenne d’un échantillon est-elle plus précise ? | Parce que son écart-type vaut σ / √n : plus l’échantillon est grand, plus elle est stable. |
| Que conclure si la moyenne visée est dans l’intervalle ? | Que l’écart observé peut s’expliquer par le hasard : le réglage est jugé correct au seuil retenu. |
| Contrôle statistique et qualité totale, quelle différence ? | Le contrôle détecte les défauts de production ; la qualité totale cherche à les éviter à toutes les étapes, en impliquant tout le personnel. |
| Où est-ce au programme ? | DCG UE11, aide au pilotage de la qualité. En BTS CG, la loi normale relève des mathématiques appliquées, non du processus 5. |
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