MÉMO - Seuil de rentabilité en avenir incertain : la probabilité d’atteindre un résultat
En avenir certain, le seuil de rentabilité se compare à une quantité vendue prévue. En avenir incertain, la quantité vendue n'est pas connue à l'avance. Elle est alors représentée par une loi normale, définie par sa moyenne et son écart-type.
Cette loi permet de calculer deux probabilités : celle de dépasser le seuil de rentabilité et celle d'atteindre un résultat fixé.
Comment calculer ces probabilités à partir de la loi des quantités vendues ?
Réponse rapide
| Notion | Calcul | Ce qu’elle indique |
|---|---|---|
| Quantité vendue Q | Q suit une loi normale N(m ; σ) | Les ventes attendues (m) et leur dispersion (σ) |
| Résultat R | R = MCV unitaire × Q − charges fixes | Le résultat suit aussi une loi normale |
| Résultat espéré | MCV unitaire × m − charges fixes | La moyenne du résultat |
| Écart-type du résultat | MCV unitaire × σ | La dispersion du résultat |
| Probabilité d’être rentable | P(Q > seuil en quantité) | La probabilité que le résultat soit positif |
| Risque de perte | P(Q < seuil en quantité) = 1 − probabilité d’être rentable | La probabilité que le résultat soit négatif. Les deux probabilités font 100 % à elles deux. |
| Probabilité d’atteindre un résultat R0 | P(Q > (charges fixes + R0) / MCV unitaire) | La chance d’atteindre l’objectif fixé |
| Variable centrée réduite | T = (Q − m) / σ | Centrer : retirer la moyenne m, pour obtenir une variable de moyenne 0. Réduire : diviser par l’écart-type σ, pour obtenir un écart-type de 1. T suit alors la loi normale centrée réduite, dont les probabilités sont données par la table. |
| Lecture de la table | Π(t) = P(T < t) ; P(T > − t) = Π(t) ; P(T > t) = 1 − Π(t) | La table donne Π(t) pour t positif. Les autres cas se déduisent par symétrie. |
Un exemple chiffré
Une entreprise lance un produit vendu 60 € avec un coût variable unitaire de 35 €, soit une marge sur coût variable de 25 € par unité.
Les charges fixes du projet s’élèvent à 300 000 € par an.
Les ventes annuelles suivent une loi normale de moyenne 15 000 unités et d’écart-type 2 000 unités.
| Question | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Seuil de rentabilité en quantité | 300 000 / 25 | 12 000 unités |
| Résultat espéré | 25 × 15 000 − 300 000 | 75 000 € |
| Écart-type du résultat | 25 × 2 000 | 50 000 € |
| Probabilité d’être rentable | P(Q > 12 000) = P(T > (12 000 − 15 000) / 2 000) = P(T > − 1,5) = Π(1,5) | 93,32 % |
| Quantité pour un résultat de 50 000 € | (300 000 + 50 000) / 25 | 14 000 unités |
| Probabilité d’un résultat d’au moins 50 000 € | P(Q > 14 000) = P(T > − 0,5) = Π(0,5) | 69,15 % |
| Probabilité de vendre plus de 16 000 unités | P(T > 0,5) = 1 − Π(0,5) | 30,85 % |
Même calcul par le résultat : R suit N(75 000 ; 50 000). P(R > 0) = P(T > (0 − 75 000) / 50 000) = P(T > − 1,5) = 93,32 %. Les deux méthodes donnent la même probabilité.
Lecture : le projet a 93,32 % de chances d’être rentable, soit un risque de perte de 6,68 %. Il a 69,15 % de chances de dégager au moins 50 000 €.
Table de la loi normale centrée réduite
La table donne Π(t) = P(T ≤ t) pour t positif. La ligne donne l’unité et le dixième de t, la colonne donne le centième. Exemple : Π(1,25) se lit ligne 1,2, colonne 0,05 : 0,8944.
| t | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,0 | 0,5000 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,1 | 0,5398 | 0,5438 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,5596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,2 | 0,5793 | 0,5832 | 0,5871 | 0,5910 | 0,5948 | 0,5987 | 0,6026 | 0,6064 | 0,6103 | 0,6141 |
| 0,3 | 0,6179 | 0,6217 | 0,6255 | 0,6293 | 0,6331 | 0,6368 | 0,6406 | 0,6443 | 0,6480 | 0,6517 |
| 0,4 | 0,6554 | 0,6591 | 0,6628 | 0,6664 | 0,6700 | 0,6736 | 0,6772 | 0,6808 | 0,6844 | 0,6879 |
| 0,5 | 0,6915 | 0,6950 | 0,6985 | 0,7019 | 0,7054 | 0,7088 | 0,7123 | 0,7157 | 0,7190 | 0,7224 |
| 0,6 | 0,7257 | 0,7291 | 0,7324 | 0,7357 | 0,7389 | 0,7422 | 0,7454 | 0,7486 | 0,7517 | 0,7549 |
| 0,7 | 0,7580 | 0,7611 | 0,7642 | 0,7673 | 0,7704 | 0,7734 | 0,7764 | 0,7794 | 0,7823 | 0,7852 |
| 0,8 | 0,7881 | 0,7910 | 0,7939 | 0,7967 | 0,7995 | 0,8023 | 0,8051 | 0,8078 | 0,8106 | 0,8133 |
| 0,9 | 0,8159 | 0,8186 | 0,8212 | 0,8238 | 0,8264 | 0,8289 | 0,8315 | 0,8340 | 0,8365 | 0,8389 |
| 1,0 | 0,8413 | 0,8438 | 0,8461 | 0,8485 | 0,8508 | 0,8531 | 0,8554 | 0,8577 | 0,8599 | 0,8621 |
| 1,1 | 0,8643 | 0,8665 | 0,8686 | 0,8708 | 0,8729 | 0,8749 | 0,8770 | 0,8790 | 0,8810 | 0,8830 |
| 1,2 | 0,8849 | 0,8869 | 0,8888 | 0,8907 | 0,8925 | 0,8944 | 0,8962 | 0,8980 | 0,8997 | 0,9015 |
| 1,3 | 0,9032 | 0,9049 | 0,9066 | 0,9082 | 0,9099 | 0,9115 | 0,9131 | 0,9147 | 0,9162 | 0,9177 |
| 1,4 | 0,9192 | 0,9207 | 0,9222 | 0,9236 | 0,9251 | 0,9265 | 0,9279 | 0,9292 | 0,9306 | 0,9319 |
| 1,5 | 0,9332 | 0,9345 | 0,9357 | 0,9370 | 0,9382 | 0,9394 | 0,9406 | 0,9418 | 0,9429 | 0,9441 |
| 1,6 | 0,9452 | 0,9463 | 0,9474 | 0,9484 | 0,9495 | 0,9505 | 0,9515 | 0,9525 | 0,9535 | 0,9545 |
| 1,7 | 0,9554 | 0,9564 | 0,9573 | 0,9582 | 0,9591 | 0,9599 | 0,9608 | 0,9616 | 0,9625 | 0,9633 |
| 1,8 | 0,9641 | 0,9649 | 0,9656 | 0,9664 | 0,9671 | 0,9678 | 0,9686 | 0,9693 | 0,9699 | 0,9706 |
| 1,9 | 0,9713 | 0,9719 | 0,9726 | 0,9732 | 0,9738 | 0,9744 | 0,9750 | 0,9756 | 0,9761 | 0,9767 |
| 2,0 | 0,9772 | 0,9778 | 0,9783 | 0,9788 | 0,9793 | 0,9798 | 0,9803 | 0,9808 | 0,9812 | 0,9817 |
| 2,1 | 0,9821 | 0,9826 | 0,9830 | 0,9834 | 0,9838 | 0,9842 | 0,9846 | 0,9850 | 0,9854 | 0,9857 |
| 2,2 | 0,9861 | 0,9864 | 0,9868 | 0,9871 | 0,9875 | 0,9878 | 0,9881 | 0,9884 | 0,9887 | 0,9890 |
| 2,3 | 0,9893 | 0,9896 | 0,9898 | 0,9901 | 0,9904 | 0,9906 | 0,9909 | 0,9911 | 0,9913 | 0,9916 |
| 2,4 | 0,9918 | 0,9920 | 0,9922 | 0,9925 | 0,9927 | 0,9929 | 0,9931 | 0,9932 | 0,9934 | 0,9936 |
| 2,5 | 0,9938 | 0,9940 | 0,9941 | 0,9943 | 0,9945 | 0,9946 | 0,9948 | 0,9949 | 0,9951 | 0,9952 |
| 2,6 | 0,9953 | 0,9955 | 0,9956 | 0,9957 | 0,9959 | 0,9960 | 0,9961 | 0,9962 | 0,9963 | 0,9964 |
| 2,7 | 0,9965 | 0,9966 | 0,9967 | 0,9968 | 0,9969 | 0,9970 | 0,9971 | 0,9972 | 0,9973 | 0,9974 |
| 2,8 | 0,9974 | 0,9975 | 0,9976 | 0,9977 | 0,9977 | 0,9978 | 0,9979 | 0,9979 | 0,9980 | 0,9981 |
| 2,9 | 0,9981 | 0,9982 | 0,9982 | 0,9983 | 0,9984 | 0,9984 | 0,9985 | 0,9985 | 0,9986 | 0,9986 |
| 3,0 | 0,9987 | 0,9987 | 0,9987 | 0,9988 | 0,9988 | 0,9989 | 0,9989 | 0,9989 | 0,9990 | 0,9990 |
Erreurs fréquentes et bonnes pratiques
| Erreur | Conséquence | Bonne pratique |
|---|---|---|
| Calculer P(Q < seuil) au lieu de P(Q > seuil) | Le résultat obtenu est le risque de perte, et non la probabilité d’être rentable. | Écrire l’événement cherché avant de centrer et réduire. |
| Oublier la symétrie de la loi normale | Lecture impossible dans la table pour un t négatif. | Utiliser P(T > − t) = Π(t) et P(T < − t) = 1 − Π(t). |
| Diviser par la variance au lieu de l’écart-type | Valeur de t fausse. | Centrer et réduire avec l’écart-type σ. |
| Prendre l’écart-type des quantités pour le résultat | Probabilité fausse si l’on raisonne sur R. | Écart-type du résultat = MCV unitaire × écart-type des quantités. |
| Oublier l’objectif de résultat dans le calcul de la quantité | On calcule la probabilité d’être rentable, pas celle d’atteindre l’objectif. | Quantité cible = (charges fixes + résultat visé) / MCV unitaire. |
| Appliquer la loi normale à des ventes qui ne la suivent pas | Probabilités sans fondement. | Vérifier que l’énoncé ou l’étude de marché fournit la loi et ses paramètres. |
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En résumé
| Point clé | Réponse |
|---|---|
| Quelle variable est aléatoire ? | La quantité vendue, décrite par une loi normale de moyenne m et d’écart-type σ. |
| Comment obtenir la probabilité d’être rentable ? | Calculer P(Q > seuil en quantité) après centrage et réduction. |
| Comment obtenir la probabilité d’un résultat donné ? | Calculer la quantité qui donne ce résultat, puis P(Q > cette quantité). |
| Quelle loi suit le résultat ? | Une loi normale de moyenne MCV × m − charges fixes et d’écart-type MCV × σ. |
| Où est-ce au programme ? | DCG UE11, indicateurs de risque d’exploitation. Hors champ BTS CG. |
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