MÉMO - Le calcul du TRI par interpolation linéaire
Le taux de rentabilité interne est le taux d'actualisation qui annule exactement la valeur actuelle nette d'un projet. Aucune formule directe ne permet de l'obtenir : il faut l'encadrer entre deux taux, l'un donnant une VAN positive, l'autre une VAN négative, puis interpoler entre les deux. C'est la méthode attendue en épreuve, sans tableur.
Réponse rapide
| Question | Réponse |
| Qu'est-ce que le TRI ? | Le taux d'actualisation pour lequel la VAN du projet est nulle |
| Pourquoi une interpolation ? | La VAN n'est pas une fonction linéaire du taux : aucune formule directe ne donne le TRI |
| Quelle formule ? | TRI ≈ t1 + (t2 − t1) × VAN(t1) ÷ [VAN(t1) − VAN(t2)] |
| Comment choisir t1 et t2 ? | t1 donne une VAN positive, t2 une VAN négative, avec t2 supérieur à t1 |
| Le résultat est-il exact ? | Non, approché : l'écart se réduit à mesure que l'intervalle se resserre |
Le principe
La VAN décroît à mesure que le taux d'actualisation augmente : plus on exige de rentabilité, moins les flux futurs pèsent. Il existe donc un taux, et un seul dans les cas usuels, où la VAN bascule du positif au négatif. Ce taux est le TRI.
L'interpolation consiste à assimiler la courbe de la VAN à une droite entre les deux points encadrants, puis à chercher où cette droite coupe l'axe des abscisses. C'est une approximation, mais elle suffit dès lors que l'intervalle est resserré.
Les termes de la formule
| Terme | Signification | Condition |
| t1 | Taux d'actualisation le plus faible | La VAN doit y être positive |
| t2 | Taux d'actualisation le plus élevé | La VAN doit y être négative |
| VAN(t1) | Valeur actuelle nette calculée au taux t1 | Valeur positive |
| VAN(t2) | Valeur actuelle nette calculée au taux t2 | Valeur négative |
| VAN(t1) − VAN(t2) | Dénominateur de la formule | Équivaut à la somme des valeurs absolues, puisque VAN(t2) est négative |
La méthode en trois étapes
| Étape | Ce que l'on fait | Le piège |
| 1. Encadrer par le bas | Calculer la VAN à un taux t1 où elle reste positive | Retenir un taux trop éloigné du TRI, ce qui dégrade l'approximation |
| 2. Encadrer par le haut | Calculer la VAN à un taux t2 supérieur, où elle devient négative | Choisir un t2 où la VAN est encore positive : l'encadrement échoue |
| 3. Interpoler | Appliquer la formule pour approcher le taux qui annule la VAN | Inverser t1 et t2, ou oublier que VAN(t2) est déjà négative |
Exemple chiffré
Pour un projet donné, la VAN est calculée à deux taux d'actualisation.
| Étape du calcul | Détail | Résultat |
| VAN au taux t1 = 10 % | Positive | 2 870 € |
| VAN au taux t2 = 12 % | Négative | − 5 098 € |
| Dénominateur | 2 870 − (− 5 098) | 7 968 € |
| Rapport VAN(t1) ÷ dénominateur | 2 870 ÷ 7 968 | 0,3602 |
| Écart entre les deux taux | 12 % − 10 % | 2 points |
| TRI approché | 10 % + 2 % × 0,3602 | 10,72 % |
Le TRI exact, obtenu par une fonction financière, s'établit à 10,70 %. L'écart avec la valeur interpolée est de 0,02 point : l'approximation est excellente parce que l'intervalle retenu ne fait que deux points.
Pourquoi le résultat n'est qu'approché
La VAN décroît de façon convexe, non linéaire, quand le taux augmente. Assimiler cette courbe à une droite introduit donc un écart, toujours dans le même sens : l'interpolation surestime légèrement le TRI.
| Écart entre t1 et t2 | Qualité de l'approximation |
| 1 à 2 points | Très bonne : écart de quelques centièmes de point |
| 5 points | Acceptable en ordre de grandeur, à vérifier si la décision est serrée |
| 10 points ou plus | Approximation grossière : resserrer l'intervalle avant de conclure |
En épreuve, les taux encadrants sont généralement fournis par l'énoncé. Lorsqu'ils ne le sont pas, procéder par essais successifs en resserrant l'intervalle jusqu'à obtenir un encadrement de un ou deux points.
Cas particuliers
| Situation | Ce qu'il faut retenir |
| Les deux VAN sont positives | L'encadrement a échoué : le TRI est supérieur à t2, il faut relever ce taux |
| Les deux VAN sont négatives | Le TRI est inférieur à t1 : il faut abaisser ce taux |
| Flux non conventionnels | Un projet dont les flux changent plusieurs fois de signe peut admettre plusieurs TRI, ou aucun |
| Comparaison de deux projets | Le TRI ne suffit pas : à tailles d'investissement différentes, la VAN reste le critère de décision |
| Décision d'investissement | Le projet est retenu si le TRI dépasse le coût du capital, ou le taux de rentabilité exigé |
| Vérification par tableur | La fonction TRI d'Excel donne le taux exact : utile pour contrôler une interpolation |
Erreurs fréquentes et bonnes pratiques
| Erreur fréquente | Bonne pratique |
| Inverser t1 et t2 dans la formule | Vérifier avant tout calcul que t1 donne une VAN positive et t2 une VAN négative |
| Retenir un intervalle trop large | Resserrer l'encadrement à un ou deux points pour limiter l'erreur |
| Se tromper de signe au dénominateur | VAN(t2) étant négative, la soustraction revient à additionner les valeurs absolues |
| Présenter le résultat comme exact | Le qualifier d'approché : c'est ce qui est attendu, et c'est plus juste |
| Décider sur le seul TRI | Le confronter à la VAN, surtout entre projets de tailles différentes |
| Oublier de comparer au coût du capital | Un TRI élevé dans l'absolu ne dit rien : c'est l'écart au taux exigé qui compte |
En résumé
| Point clé | Ce qu'il faut retenir |
| Ce qu'est le TRI | Le taux d'actualisation qui annule la VAN |
| Pourquoi interpoler | Aucune formule directe n'existe : il faut encadrer puis approcher |
| L'encadrement | t1 à VAN positive, t2 à VAN négative, t2 supérieur à t1 |
| La précision | Elle dépend de la largeur de l'intervalle : le resserrer autant que possible |
| La décision | Le projet est retenu si le TRI dépasse le taux de rentabilité exigé |
